Kehidupan beberapa Matematikawan

“Matematikawan juga manusia.” Itu adalah kalimat yang pantas apabila seseorang ingin menggambarkan bagaimanakah seorang matematikawan itu memulai dan mengakhiri perjuangan hidupnya. Bukan berarti mereka itu adalah semacam dewa yang begitu saja dengan mudahnya memperoleh banyak nobel atau pernghargaan tentang apa yang mereka kerjakan dalam bidang matematika. Bagaimanapun juga, baik petani, pegawai bank, bahkan sampai presiden sekalipun, semuanya memiliki jalan tersendiri dan sebuah, atau bahkan banyak sekali pengorbanan dan perjuangan yang telah mereka lakukan, tak terkecuali matematikawan.

Banyak sekali matematikawan yang berasal dari keluarga, atau paling tidak, kelompok yang cukup banyak memiliki masalah, meski beberapa matematikawan juga memiliki kehidupan yang cukup layak pada masa kecilnya. Namun tidak lepas dari kenyataan bahwa matematikawan juga berusaha sekuat tenaga dan menaruhkan semua yang dia miliki pada matematika. Akan ada banyak orang yang berpikiran bahwa bagaimana hal itu bisa terjadi. Hal itu disini adalah bagaimana mereka bisa menjadi matematikawan, apa yang membuat mereka bisa sebegitu bodohnya melakukan hal ini dan hal itu, mengotak-atik segala hal, dan berusaha merangkainya kembali, padahal kebanyakan objek yang mereka gunakan sangat abstrak. Tapi bagaimanapun juga, imajinasi bukanlah kebodohan ataupun kekanak-kanakan. Imajinasi untuk menuliskan dan menghasilkan sesuatulah yang membuat perkembangan dalam segala bidang. Dan yang membuat seseorang ingin sekali melakukan semua hal itu adalah satu : rasa tertarik.

Ya, keingintahuan bukanlah alas an yang tepat karena ada lagi alasan yang berdiri di atas rasa keingintahuan, yaitu rasa tertarik. Ketika seseorang tertarik akan suatu hal, tentu saja orang itu akan menjadi sangat ingin mengenal suatu hal tersebut. Persis ketika kita melihat sebuah bentuk bole yang berputar. Setelah merasa tertarik, kita pasti akan menanyakan beberapa hal tentang bola tersebut, seperti bagaimana bola bisa berputar, mengapa bola berputar, mengapa bentuknya lingkaran yang berisi, mengapa tidak mempunyai sudut siku-siku, dan sebagainya. Dari situ, sebuah jembatan muncul dan kehidupan seseorang sangat begitu mungkin untuk mencoba menyebrangi jembatan itu, seperti beberapa matematikawan yang akan diceritakan beberapa potong kehidupannya berikut.

Pada awal abad kesembilan belas hanya Gauss mempunyai firasat apa yang segera datang, tapi Newtonian menahannya dari mengatakan Lagrange, Laplace dan Legendre apa yang ia ramalkan. Meskipun matematika besar Perancis hidup dengan baik ke tingkat yang pertama ketiga abad kesembilan belas banyak karya baru mereka tampaknya telah dipersiapkan. Lagrange dalam teori persamaan mempersiapkan jalan bagi Abel dan Galois, Laplace, dengan karyanya pada persamaan diferensial astronomi Newtonian termasuk teori gravitasi mengisyaratkan perkembangan fenomenal matematika fisika di abad kesembilan belas sementara penelitian Legendre dalam kalkulus integral disarankan untuk Abel dan Jacobi salah satu bidang analisis investigasi yang paling subur yang pernah diperoleh. Analisis mekanik Lagrange masih modern. Tapi bahkan itu untuk menerima tambahan megah di Tangan Hamilton dan Jacobi dan Poincare kemudian. Lagrange dalam kalkulus variasi juga tetap klasik dan berguna, tetapi karya Weierstrass memberikannya arah baru dalam semangat, ketat, inventif dari paruh kedua pada abad kesembilan belas dan ini pada gilirannya telah diperkuat dan direnovasi.

Augustin Louis Cauchy, yang pertama dari matematikawan besar Perancis yang pikiran milik pasti dengan zaman modern, lahir di Paris pada 21 Agustus 1789 sedikit kurang dari enam minggu setelah jatuhnya Bastille. Seorang anak Revolusi, dia membayar pajaknya atas kebebasan dan kesetaraan dengan tumbuh dewasa dengan tubuh kekurangan gizi. Hanya dengan diplomasi dan rasa yang baik dari ayahnya bahwa Cauchy selamat dari tengah-tengah kelaparan. Setelah hidup lebih lama Teror, ia lulus dari urutan Napoleon Chaucy mendapat bagian penuh mengenai kekurangan dari revolusi dan revolusi counter dan takaran karyanya dipengaruhi oleh kerusuhan sosial pada zamannya. Jika revolusi dan sejenisnya dilakukan mempengaruhi Chauchy dalam kerja ilmiah dimana seharusnya laboratorium menjadi hadiah spesimen untuk membuktikan fakta. Dia memiliki kesuburan luar biasa dalam matematika cipta dan fekunditas yang telah melampaui hanya dua oleh Euler dan Cayley. Leke Karyanya revolusioner.

Matematika modern berhutang budi kepada Chauchy untuk dua kepentingan utama yang masing-masing menandai istirahat tajam dengan matematika dari abad kedelapan belas. Yang pertama adalah pengenalan kekakuan dalam analisis matematika. Sulit untuk menemukan simile memadai bagi besarnya muka ini mungkin berikut yang akan dilakukan. Misalkan tah selama berabad-abad merupakan seluruh rakyat telah menyembah dewa-dewa palsu dan yang tiba-tiba kesalahan mereka terungkap kepada mereka. Sebelum pengenalan analisis kekakuan matematika adalah dewa seluruh dewa-dewa palsu. Dalam Cauchy ini adalah salah satu pelopor besar dengan Gauss dan Habel. Gauss mungkin telah memimpin jauh sebelum Cauchy memasuki lapangan, tapi tidak dan itu adalah kebiasaan Cauchy 's publikasi cepat dan hadiah untuk pengajaran efektif yang benar-benar ketelitian dalam analisis matematika diterima.

Hal kedua yang penting mendasar yang Cauchy ditambahkan ke matematika berada di sisi sebaliknya kombinatorial. Perebutan pada jantung dari metode Lagrange dalam teori persamaan, Chaucy membuat abstrak dan memulai penciptaan sistematis dari teori grup. Sifat ini akan dijelaskan kemudian untuk saat ini kami mencatat hanya modernitas pandangan Chauchy itu.

Tanpa bertanya apakah hal yang ia menemukan punya aplikasi atau tidak, bahkan untuk cabang lain dari matematika, Cauchy dikembangkan pada kemampuannya sendiri sebagai sistem abstrak. Pendahulunya, dengan pengecualian dari Euler yang universal yang sangatlah bersedia untuk menulis memoar tentang teka-teki dalam jumlah seperti pada hidrolika atau 'sistem dunia telah menemukan inspirasi mereka tumbuh keluar dari aplikasi matematika. Pernyataan tentu saja memiliki banyak pengecualian, terutama di arithmetik, tapi sebelum Chauchy jika ada beberapa penemuan menguntungkan dicari aljabar di manipulasi. Chauchy melihat lebih dalam, melihat operasi dan hukum mereka dari kombinasi di bawah simetri rumus aljabar, mereka terisolasi, dan dipimpin untuk teori grup. Hari ini teori dasar namun rumit adalah kepentingan mendasar di berbagai bidang matematika murni dan terapan, dari teori persamaan aljabar geometri dan teori struktur atom. Hal ini di bagian bawah geometri kristal lagi tapi salah satu aplikasi. Perkembangan kemudian semula (di sisi analitis) memperpanjang jauh ke mekanik yang lebih tinggi dan modern teori persamaan diferensial.

Carl Gustav Jacob Jacobi, lahir di Postdam, Prussia, Jerman, pada tanggal 10 Desember 1804, adalah anak kedua dari bankir makmur, Simon Jacobi, dan istrinya. Ada 4 anak, tiga laki-laki, yaitu Moritz, Carl, Eduard, dan seorang perempuan, Therese.

Guru pertama Carl adalah pamannya yang mengajarinya klasik dan matematika, mempersiapkan Carl untuk masuk ke Postdam Gymnasium pada 1816 di umur ke dua belasnya. Dari awal Jacobi memberi bukti dari “universal mind” yang mana sang rektor dari Gymnasium menyatakannya untuk meninggalkan sekolahnya pada 1821 untuk memasuki Universitas Berlin.

Seperti Gauss, Carl dapat dengan mudah membuat reputasi yang tinggi dalam ilmu bahasa jika saja matematika tidak membuat rasa tertariknya semakin kuat. Melihat Carl jenius dalam matematika, gurunya (Heinrich Bauer) membiarkan Carl bekerja sendirian—setelah sebuah pergumulan yang cukup lama karena Carl menolak untuk belajar matematika secara menghafal dan secara aturan.

Perkembangan matematika Jacobi muda (Carl) adalah pada rasa hormat akan kesetaraan rasa ingin tahu dengan saingannya Abel. Jacobi juga menuju ke ahlinya, karya Euler dan Lagrange mengajarinya Aljabar dan Kalkulus, dan mengenalkannya pada teorema angka. Intruksi pada diri sendiri yang dini ini adalah untuk memberi karya menakjubkan dari Jacobi—di fungsi elips—arah yang terdefinisinya, untuk Euler, master dari alat-alat jenius, ditemukan dalam Jacobi penerus briliannya. Untuk kemampuan manipulatif yang tipis dalam menjerat aljabar Euler dan Jacobi tidak mempunyai saingan, kecuali matematikawan jenius, Srinivasa Ramanujan, dalam abad kita. Abel juga mampu menangani rumus seperti seorang master jika dia mau, namun kejeniusannya lebih filosofis, kurang formal daripada milik Jacob. Abel lebih mendekati Gauss dalam desakannya pada kekuatan daripada Jacobi yang secara alami—bukan berarti karya kurang dalam kekuatan, namun inspirasinya terlihat formalistik daripada rigoristik.

Abel dua tahun lebih tua dari Jacob. Tidak menyadari Abel telah menyerang pangkat lima umum pada tahun 1820, Jacobi pada tahun yang sama mencoba sebuah solusi, mereduksi pangkat lima umum ke bentuk x⁵-10q²x = p dan menunjukkan bahwa solusi dari persamaan ini akan mengikuti persamaan tertentu dari derajat sepuluh. Walaupun usahanya gagal, itu mengajari Jacob banyak hal tentang aljabar dan dia menganggap hal yang penting yang bisa dipertimbangkan dari hal itu sebagai sebuah langkah dalam edukasi matematisnya. Tapi itu sepertinya tidak terjadi padanya, sama seperti yang terjadi pada Abel, bahwa pangkat lima umum mungkin tidak bisa dipecahkan secara aljabar. Kekeliruan ini, atau kurangnya imajinasi, atau apapun yang ingin kita sebutkan untuk itu, pada bagian Jacobi terdapat perbedaan diantara dia dan Abel. Jacobi, yang mempunyai pikiran objektif yang luar biasa dan tidak pencemburu atau iri dalam sifatnya yang bermurah hati, dia sendiri mengatakan salah satu dari karya besar Abel, “Itu melebihi di atas pujianku seperti itu melebihi di atas karyaku sendiri.”

Hari-hari Jacobi sebagai murid di Berlin berakhir dari April 1821, sampai Mei 1825. Selama dua tahun awal yang dia habiskan untuk filosofi, filologi, dan matematika secara seimbang. Dalam seminar filologis, Jacobi menarik perhatian P.A Boeckh, seorang sarjana klasik yang terkenal yang membawa (di antara karya yang lainnya) sebuah edisi yang baik dari Pindar. Boeckh, beruntung untuk matematika, gagal untuk mengubah murid yang paling menjanjikannya ke pembelajaran yang klasik sebagai sebuah ketertarikan dalam hidup. Dalam matematika, tidak banyak yang bisa ditawarkan untuk seorang murid yang ambisius dan Jacobi melanjutkan studi privatnya dari para master. Kuliah-kuliah universitas dalam matematika dia karakterisasikan secara singkat dan cukup sebagai ocehan. Jacobi biasanya terang-terangan dan pada intinya, walaupun dia tahu bagaimana bersikap patuh ketika mencoba untuk menyindir beberapa teman matematika yang pantas ke dalam sebuah posisi yang pantas.

Ketika Jacobi secara rajin menjadikan dirinya sendiri matematikawan, Abel telah memulai pada setiap jalan yang mana untuk menuntun Jacobi untuk terkenal. Abel telah menulis Holmboe pada 4 Agustus 1823, yang mana dia sibuk dengan fungsi elips : “Karya kecil ini, kau akan mengingat, berhadapan dengan invers dari transenden elips, dan aku buktika sesuatu [yang sepertinya] mustahil; Aku memohon Degen untuk membacanya sesegera dia bisa dari satu akhir ke akhir yang lain, tapi dia dapat menemukan kesimpulan yang tidak salah, dan tidak mengerti dimana kesalahan itu; Tuhan tahu bagaimana aku akan keluar dari hal itu.” Oleh sebuah rasa ingin tahu Jacobi yang kebetulan, akhirnya memantapkan dirinya untuk mengerahkan semua yang dia miliki pada matematika hampir tepat ketika Abel menulis ini. Dua tahun perbedaan dalam umur dari laki-laki muda sekitar 20 tahun (Abel dua puluh satu, Jacobi sembilan belas) terhitung lebih dari dua dekade dari kedewasaan. Abel mendapat awal yang bagus tapi Jacobi, tidak sadar bahwa dia memiliki saingan dalam perlombaan, tidak lama mengejar. Karya besar Jacobi yang pertama adalah pada bidang Abel tentang fungsi elips.

Matematika dari Diriku dan Sekitarku

Pernah berulang kali saya pikirkan bagaimana matematika itu bisa ada. Nama matematika itu sendiri bisa muncul begitu saja sudah menjadi hal yang sangat misterius. Ketika berpapasan dengan sebuah toko, papan iklan, atau bahkan lampu merah, melihat angka selalu membuat saya berpikir bahwa itu menggunakan matematika, angka, dan yah, tidak ada yang akan mengatakan kalau angka itu tidak ada hubungannya dengan matematika kecuali orang itu tidak memiliki pengetahuan tentang matematika. Dan dari situ saja sudah bisa diambil satu kesimpulan yang pasti akan matematika.

Matematika berawal dari pikiran.

Seperti yang sudah saya sebutkan, ketika seseorang melihat sebuah angka dimanapun bahkan di mesin kas yang selalu mengkalikan atau menjumlahkan harga-harga yang akan kita bayar untuk membeli suatu barang, secara tidak sadar mereka yang melihatnya pasti akan menganggap bahwa itu adalah matematika, menggunakan matematika. Namun pada zaman dahulu belum ada bahasa yang tepat untuk mewakilkan matematika, jelas sebelum matematika (entah menurut bahasa mana) ditemukan (dan pada zaman dahulu tidak ada mesin kas, dan mungkin perhitungan tentang berapa apel atau sapi yang ada lah yang dipikirkan). Karena itulah tercetus kata matematika (bahasa menyesuaikan) dan itu muncul secara tidak disadari oleh manusia.

Setiap orang perlu menghitung dan mengira akan sesuatu, terutama secara matematis. Dari situ bisa kita bayangkan bahwa orang zaman dulu ketika mengukur lebar sebuah sungai untuk dilompati, kira-kira berapa kaki atau hasta atau bahkan menggunakan metode pengukuran yang masih kolot, namun jelas mereka memikirkannya. Berapa jambu monyet yang bisa mereka petik selama satu jam, itu semua muncul dibenak mereka secara alami, dan tidak dibuat-buat. Itulah beberapa hal yang membuktikan bahwa matematika itu terlahir dari pikiran seorang individu, atau kelompok untuk kasus yang selanjutnya.

Benar, matematika berasal dari berbagi, pengalaman tentunya. Perkembangan matematika tidak akan, atau lebih halusnya, sulit untuk bisa dipikirkan hanya dengan satu individu saja. Ya, mereka tentunya akan saling berbicara tentang apa yang telah mereka temukan tentang hitung menghitung, mungkin bisa juga saling pamer, namun yang jelas mereka saling berbagi.

Ketika sebuah kelompok atau pedesaan memiliki tujuh teori yang sudah mereka buktikan sendiri, dan seorang pengelana datang dan singgah di tempat itu, tidak akan menjadi rahasia lagi karena kemungkinan besar pengelana itu berbagi pengalaman dan bercerita banyak hal, tentu matematika bisa termasuk juga karena hal yang sulit pasti akan dipamerkan, atau paling tidak, dibanggakan oleh seseorang dan dia tidak sabar untuk menceritakannya pada seseorang atau bahkan banyak orang.

Dari satu desa/kelompok, menjalar ke desa/kelompok lain, dan terus menerus saling membanggakan diri sampai pada akhirnya mereka kehabisan bahan untuk dibanggakan dan mereka lama kelamaan setara. Setelah itu mereka menunggu, atau bahkan ada yang sengaja mengirim sebagian dari mereka ke suatu tempat yang memiliki teori baru yang belum pernah ada di desa/kelompoknya, untuk pada akhirnya mereka bagi-bagikan lagi setelah dia kembali dan kemudian saling pamer lagi. Ini membuktikan bahwa matematika bisa berasal dari pengalaman.

Itulah contoh bukti dari asal usul matematika, menurut saya.

Matematika dan Segala Kekuatannya

Bila membahas tentang the power of mathematics, saya hanya bisa membayangkan tentang beberapa hal. Ya, hal yang membuat matematika terasa kuat dan berpengaruh terhadap segala sesuatu yang ada di dekat atau bahkan di sekitar saya, tentu dari sudut pandang saya sendiri. Meskipun terasa dan terlihat membosankan, namun bagi saya itu menarik dan bisa membuat saya merasakan bahwa betapa kuatnya matematika hingga dapat membuat saya tertarik.

 

Ya, matematika bisa membuat saya yang sering malas ini tertarik.

 

Ada banyak hal, bahkan hamper semua hal, yang sangat membosankan dalam matematika hingga saya harus menguap berkali-kali ketika membacanya. Kopi sepahit apapun saya rasa tidak cukup untuk membuat saya terbangun ketika saya membaca, terutama bacaan yang hanya tulisan saja dan tanpa gambar seperti sejarah matematika. Namun, sampai sekarang ini dan mungkin kedepannya, saya masih tertarik dan tidak merasa sepenuhnya bosan ketika mempelajari matematika, atau bahkan ketika membaca sejarah tentang rumus abc yang nantinya akan saya jelaskan. Entah mengapa ada sesuatu yang menarik saya untuk membaca dan mengerti perihal masalah tersebut.

 

Ketika saya mempelajari diagram SIR, dimana virus menyebar dari yang rentan ke terjangkit hingga sampai pada kesembuhan yang masih bisa terkena penyakit lagi, jika saya tidak mengerti, saya pasti akan langsung melempar kertas yang berisi diagram tersebut sembarangan. Namun, ketika mempelajarinya dan kemudian setelahnya, saya mendapatkan ide-ide menarik tentang penggunaan diagram tersebut untuk beberapa hal yang bersifat trivial atau pribadi, tentu akan terasa menyenangkan dan menarik, diluar pendapat bahwa penggunaan di virus juga tidak kalah menyenangkannya.

 

Itulah yang membuat saya menyadari bahwa ada sesuatu yang membuat saya, orang yang hanya membaca satu paragraph saja mengantuk, tetap terjaga dan menari-narikan mata pada kertas atau materi yang berhubungan dengan matematika. Ya, sesuatu yang membuat matematika entah mengapa menjadi semakin menarik dan tidak membosankan lagi. Memberikan soal, pemecahan, dan kepuasan sendiri setelah mengerjakannya, itu juga beberapa hal yang membuat saya tertarik pada matematika. Dan saya rasa itulah “kekuatan” dari matematika. Kekuatan yang seperti magnet, menarik seseorang untuk terus bersenang-senang dan kadang lupa waktu ketika mempelajari tentang matematika. Dimana kita juga merasakan banyak hal yang bisa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Itulah yang membuat matematika “kuat”, kekuatan untuk membuat dirinya tertarik.

 

Selanjutnya saya akan membahas beberapa sejarah tentang ditemukannya suatu teorema/rumus/beberapa hal dalam matematika.

1.      Rumus Kuadratis

 

Pada tahun 1500 SM di Mesir, aspek pertama persamaan kuadratis adalah pada rumitnya masalah persamaan tersebut, yang membuat banyak orang yang menginginkan solusi mudah dan cepat. Biasanya untuk menghitung berapa ikat lotar yang muat pada suatu penyimpanan berukuran tertentu dengan jumlah lotar yang tertentu pula. Mereka tahu kalau mereka dapat menyimpan sembila ikat lotar kalau satu sisi persegi dikalikan tiga/diperbanyak tiga kali. Untuk informasi saja, di Mesir dulu mereka tidak tahu tentang persamaan dan angka seperti yang kita ketahui sekarang, melainkan hanya deskripsi, secara retoris, dan kadang sulit untuk diikuti. Sehingga para ahli menggunakan cara yaitu menghitung semua luas yang mungkin pada persegi dan membuat tiruannya, tentu memiliki kesalahan perhitungan (lebih kecil/lebih besar dari aslinya). Selanjutnya pada tahun 400 SM di Babilonia, mereka menemukan metode yang lebih umum yang disebut sebagai “melengkapi kuadrat persegi” untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan luas. Tentu, lebih mudah karena mereka sudah menggunakan sistem angka, pada saat itu system basis-60.

 

Selanjutnya pada tahun 300 SM ketika Phytagoras menemukan bahwa akar kuadrat tidak selalu bilangan bulat dan juga Euclid menemukan beberapa proporsi yang tidak termasuk dalam bilangan bulat, dan ditemukanlah bilangan irasional. Dan untuk itu, masalahnya ada pada bagaimana cara menghitung akar kuadrat dari semua angka menggunakan tangan (tentu karena dulu tidak ada kalkulator) hingga sampai membuat matematika dirasa beralih dari sains pragmatis kea rah yang lebih mistis, hanya karena masalah di atas.  Sekitar tahun 700 M diturunkan oleh Brahmagupta dari India menggunakan angka, termasuk angka irasional, dan juga dua akar pada solusi, yang pada akhirnya disempurnakan oleh Baskhara yang mengungkapkan bahwa setiap angka positif mempunyai dua akar kuadrat. Hingga pada akhirnya Girolamo Cardano pada tahun 1545, dengan menyampurkan solusi dari Al-Kwharismi (masanya pada 820M) dengan geometri Euclidian. Pada karyanya, ia memperbolehkan bilangan kompleks, atau bahkan imajiner, yang mana adalah akar dari angka negative. Namun selanjutnya, Lagrange mencoba membuat sebuah rumus yang lebih universal untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yang berbeda dari/bervariasi dari rumus aljabar yang sudah ada  yang dikenal sebagai rumus kuadratis, atau pada siswa sekolah lanjut sekarang menyebutnya sebagai rumus abc.

 

Untuk persamaan kuadrat dengan nilai  , ataupun bentuk persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan, biasanya akan lebih mudah diselesaikan jika menggunakan rumus kuadrat, yaitu . Adapun cara memperolehnya yaitu :

 

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

bagi kedua ruas dengan a

Pindahkan    ke ruas kanan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

Pindahkan   ke ruas kanan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan    ke ruas kanan

sehingga didapat rumus kuadrat

 

dan

Dengan rumus tersebut kita akan lebih mudah dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan bentuk , kita tinggal memasukkan nilai-nilai dan  ke dalam rumusnya.

 

2.      Himpunan

 

Matematikawan telah menggunakan himpunan sejak awal subjek. Misalnya, ahli matematika Yunani mendefinisikan lingkaran sebagai titik himpunan pada jarak r tetap dari titik tetap P. Namun, konsep 'himpunan tak terhingga' & ‘himpunan terhingga’ menghindari ahli matematika dan filsuf selama berabad-abad. Misalnya, pikiran Hindu dipahami tak terbatas dalam Ishavasy, teks kitab suci-opanishad sebagai berikut: "Keseluruhan ada di sana. Keseluruhan berada di sini. Dari keseluruhan lubang imanates. Menyingkirkan keseluruhan dari keseluruhan, apa yang tersisa masih satu Utuh”. Phythagoras (~ 585-500 SM), seorang matematikawan Yunani, menghubungkan baik dan jahat dengan terbatas dan tidak terbatas. Aristoteles (384-322 SM) mengatakan, "tak terbatas tidak sempurna, belum selesai dan karena itu, tak terpikirkan, itu tak berbentuk dan bingung." Kaisar Romawi dan filsuf Marcus Aqarchus (121-180 M) mengatakan tak terhingga adalah sebuah teluk yg tak dapat diduga, di mana segala sesuatu lenyap ".

Ahli matematika bekerja, serta berjalan, jarang berkaitan dengan pertanyaan tidak biasa: apa itu angka? Namun upaya untuk menjawab pertanyaan ini justru telah mendorong banyak pekerjaan oleh matematikawan dan filsuf di dasar matematika selama seratus tahun terakhir. Karakterisasi bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real telah menjadi masalah klasik umum untuk penelitian dari Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege, Peano, Russel, Whitehead, Brouwer, dan lain-lain. Peneliti Georg Cantor sekitar 1870 dalam teori dengan rangkaian tanpa batas dan topik terkait dengan analisis memberikan arah baru bagi perkembangan teori himpunan. Cantor, yang biasanya dianggap sebagai pendiri teori himpunan sebagai suatu disiplin matematika, dipimpin oleh karyanya menjadi pertimbangan himpunan tak terbatas atau kelas karakter sewenang-wenang.

Namun, hasil Cantor tidak segera diterima oleh orang-orang sejamannya. Juga, ditemukan bahwa definisi tentang menetapkan mengarah ke kontradiksi dan paradoks logis. Yang paling terkenal di kalangan ini adalah pada 1918 oleh Bertrand Russell (1872-1970), sekarang dikenal sebagai's paradoks Russell.

Dalam upaya untuk menyelesaikan paradoks ini, reaksi pertama matematikawan adalah untuk 'mengaksiomatisasi' teori himpunan intuitif Cantor. Aksiomatisasi berarti sebagai berikut: dimulai dengan satu himpunan pernyataan jelas disebut aksioma, kebenaran yang diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam tiga-volume kerja mereka yang disebut Principia Matematikawan merasa canggung untuk digunakan. Sebuah Teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logistik sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). Ini meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan.

 

3.      Lingkaran

 

Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16.

Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan masalah menggambarkan dan menjabarkan polygon.

Salah satu masalah matematika Yunani menemukan masalah persegi dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa kurva terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan mencatat pertama untuk studi masalah ini.

Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π^2 dan panjang kurva adalah suatu 2π.
Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan limacon jika titik pedal bukan pada keliling.

Kaustik dari sebuah lingkaran dengan titik bersinar di keliling adalah cardioid, sedangkan bila sinar sejajar maka kaustik adalah nephroid .

Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.