Matematika dan Segala Kekuatannya

Bila membahas tentang the power of mathematics, saya hanya bisa membayangkan tentang beberapa hal. Ya, hal yang membuat matematika terasa kuat dan berpengaruh terhadap segala sesuatu yang ada di dekat atau bahkan di sekitar saya, tentu dari sudut pandang saya sendiri. Meskipun terasa dan terlihat membosankan, namun bagi saya itu menarik dan bisa membuat saya merasakan bahwa betapa kuatnya matematika hingga dapat membuat saya tertarik.

 

Ya, matematika bisa membuat saya yang sering malas ini tertarik.

 

Ada banyak hal, bahkan hamper semua hal, yang sangat membosankan dalam matematika hingga saya harus menguap berkali-kali ketika membacanya. Kopi sepahit apapun saya rasa tidak cukup untuk membuat saya terbangun ketika saya membaca, terutama bacaan yang hanya tulisan saja dan tanpa gambar seperti sejarah matematika. Namun, sampai sekarang ini dan mungkin kedepannya, saya masih tertarik dan tidak merasa sepenuhnya bosan ketika mempelajari matematika, atau bahkan ketika membaca sejarah tentang rumus abc yang nantinya akan saya jelaskan. Entah mengapa ada sesuatu yang menarik saya untuk membaca dan mengerti perihal masalah tersebut.

 

Ketika saya mempelajari diagram SIR, dimana virus menyebar dari yang rentan ke terjangkit hingga sampai pada kesembuhan yang masih bisa terkena penyakit lagi, jika saya tidak mengerti, saya pasti akan langsung melempar kertas yang berisi diagram tersebut sembarangan. Namun, ketika mempelajarinya dan kemudian setelahnya, saya mendapatkan ide-ide menarik tentang penggunaan diagram tersebut untuk beberapa hal yang bersifat trivial atau pribadi, tentu akan terasa menyenangkan dan menarik, diluar pendapat bahwa penggunaan di virus juga tidak kalah menyenangkannya.

 

Itulah yang membuat saya menyadari bahwa ada sesuatu yang membuat saya, orang yang hanya membaca satu paragraph saja mengantuk, tetap terjaga dan menari-narikan mata pada kertas atau materi yang berhubungan dengan matematika. Ya, sesuatu yang membuat matematika entah mengapa menjadi semakin menarik dan tidak membosankan lagi. Memberikan soal, pemecahan, dan kepuasan sendiri setelah mengerjakannya, itu juga beberapa hal yang membuat saya tertarik pada matematika. Dan saya rasa itulah “kekuatan” dari matematika. Kekuatan yang seperti magnet, menarik seseorang untuk terus bersenang-senang dan kadang lupa waktu ketika mempelajari tentang matematika. Dimana kita juga merasakan banyak hal yang bisa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Itulah yang membuat matematika “kuat”, kekuatan untuk membuat dirinya tertarik.

 

Selanjutnya saya akan membahas beberapa sejarah tentang ditemukannya suatu teorema/rumus/beberapa hal dalam matematika.

1.      Rumus Kuadratis

 

Pada tahun 1500 SM di Mesir, aspek pertama persamaan kuadratis adalah pada rumitnya masalah persamaan tersebut, yang membuat banyak orang yang menginginkan solusi mudah dan cepat. Biasanya untuk menghitung berapa ikat lotar yang muat pada suatu penyimpanan berukuran tertentu dengan jumlah lotar yang tertentu pula. Mereka tahu kalau mereka dapat menyimpan sembila ikat lotar kalau satu sisi persegi dikalikan tiga/diperbanyak tiga kali. Untuk informasi saja, di Mesir dulu mereka tidak tahu tentang persamaan dan angka seperti yang kita ketahui sekarang, melainkan hanya deskripsi, secara retoris, dan kadang sulit untuk diikuti. Sehingga para ahli menggunakan cara yaitu menghitung semua luas yang mungkin pada persegi dan membuat tiruannya, tentu memiliki kesalahan perhitungan (lebih kecil/lebih besar dari aslinya). Selanjutnya pada tahun 400 SM di Babilonia, mereka menemukan metode yang lebih umum yang disebut sebagai “melengkapi kuadrat persegi” untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan luas. Tentu, lebih mudah karena mereka sudah menggunakan sistem angka, pada saat itu system basis-60.

 

Selanjutnya pada tahun 300 SM ketika Phytagoras menemukan bahwa akar kuadrat tidak selalu bilangan bulat dan juga Euclid menemukan beberapa proporsi yang tidak termasuk dalam bilangan bulat, dan ditemukanlah bilangan irasional. Dan untuk itu, masalahnya ada pada bagaimana cara menghitung akar kuadrat dari semua angka menggunakan tangan (tentu karena dulu tidak ada kalkulator) hingga sampai membuat matematika dirasa beralih dari sains pragmatis kea rah yang lebih mistis, hanya karena masalah di atas.  Sekitar tahun 700 M diturunkan oleh Brahmagupta dari India menggunakan angka, termasuk angka irasional, dan juga dua akar pada solusi, yang pada akhirnya disempurnakan oleh Baskhara yang mengungkapkan bahwa setiap angka positif mempunyai dua akar kuadrat. Hingga pada akhirnya Girolamo Cardano pada tahun 1545, dengan menyampurkan solusi dari Al-Kwharismi (masanya pada 820M) dengan geometri Euclidian. Pada karyanya, ia memperbolehkan bilangan kompleks, atau bahkan imajiner, yang mana adalah akar dari angka negative. Namun selanjutnya, Lagrange mencoba membuat sebuah rumus yang lebih universal untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yang berbeda dari/bervariasi dari rumus aljabar yang sudah ada  yang dikenal sebagai rumus kuadratis, atau pada siswa sekolah lanjut sekarang menyebutnya sebagai rumus abc.

 

Untuk persamaan kuadrat dengan nilai  , ataupun bentuk persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan, biasanya akan lebih mudah diselesaikan jika menggunakan rumus kuadrat, yaitu . Adapun cara memperolehnya yaitu :

 

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

bagi kedua ruas dengan a

Pindahkan    ke ruas kanan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

Pindahkan   ke ruas kanan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan    ke ruas kanan

sehingga didapat rumus kuadrat

 

dan

Dengan rumus tersebut kita akan lebih mudah dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan bentuk , kita tinggal memasukkan nilai-nilai dan  ke dalam rumusnya.

 

2.      Himpunan

 

Matematikawan telah menggunakan himpunan sejak awal subjek. Misalnya, ahli matematika Yunani mendefinisikan lingkaran sebagai titik himpunan pada jarak r tetap dari titik tetap P. Namun, konsep 'himpunan tak terhingga' & ‘himpunan terhingga’ menghindari ahli matematika dan filsuf selama berabad-abad. Misalnya, pikiran Hindu dipahami tak terbatas dalam Ishavasy, teks kitab suci-opanishad sebagai berikut: "Keseluruhan ada di sana. Keseluruhan berada di sini. Dari keseluruhan lubang imanates. Menyingkirkan keseluruhan dari keseluruhan, apa yang tersisa masih satu Utuh”. Phythagoras (~ 585-500 SM), seorang matematikawan Yunani, menghubungkan baik dan jahat dengan terbatas dan tidak terbatas. Aristoteles (384-322 SM) mengatakan, "tak terbatas tidak sempurna, belum selesai dan karena itu, tak terpikirkan, itu tak berbentuk dan bingung." Kaisar Romawi dan filsuf Marcus Aqarchus (121-180 M) mengatakan tak terhingga adalah sebuah teluk yg tak dapat diduga, di mana segala sesuatu lenyap ".

Ahli matematika bekerja, serta berjalan, jarang berkaitan dengan pertanyaan tidak biasa: apa itu angka? Namun upaya untuk menjawab pertanyaan ini justru telah mendorong banyak pekerjaan oleh matematikawan dan filsuf di dasar matematika selama seratus tahun terakhir. Karakterisasi bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real telah menjadi masalah klasik umum untuk penelitian dari Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege, Peano, Russel, Whitehead, Brouwer, dan lain-lain. Peneliti Georg Cantor sekitar 1870 dalam teori dengan rangkaian tanpa batas dan topik terkait dengan analisis memberikan arah baru bagi perkembangan teori himpunan. Cantor, yang biasanya dianggap sebagai pendiri teori himpunan sebagai suatu disiplin matematika, dipimpin oleh karyanya menjadi pertimbangan himpunan tak terbatas atau kelas karakter sewenang-wenang.

Namun, hasil Cantor tidak segera diterima oleh orang-orang sejamannya. Juga, ditemukan bahwa definisi tentang menetapkan mengarah ke kontradiksi dan paradoks logis. Yang paling terkenal di kalangan ini adalah pada 1918 oleh Bertrand Russell (1872-1970), sekarang dikenal sebagai's paradoks Russell.

Dalam upaya untuk menyelesaikan paradoks ini, reaksi pertama matematikawan adalah untuk 'mengaksiomatisasi' teori himpunan intuitif Cantor. Aksiomatisasi berarti sebagai berikut: dimulai dengan satu himpunan pernyataan jelas disebut aksioma, kebenaran yang diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam tiga-volume kerja mereka yang disebut Principia Matematikawan merasa canggung untuk digunakan. Sebuah Teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logistik sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). Ini meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan.

 

3.      Lingkaran

 

Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16.

Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan masalah menggambarkan dan menjabarkan polygon.

Salah satu masalah matematika Yunani menemukan masalah persegi dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa kurva terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan mencatat pertama untuk studi masalah ini.

Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π^2 dan panjang kurva adalah suatu 2π.
Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan limacon jika titik pedal bukan pada keliling.

Kaustik dari sebuah lingkaran dengan titik bersinar di keliling adalah cardioid, sedangkan bila sinar sejajar maka kaustik adalah nephroid .

Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.

Mari Berhitung

Bila mengingat tentang apa yang disampaikan Bapak Marsigit pada pertemuan sebelumnya, beliau membahas tentang bagaimana seseorang di zaman dulu menghitung, atau lebih tepatnya, mengukur panjang dari sesuatu. Dengan pendapatnya, beliau membayangkan bahwa orang zaman dahulu, sebelum ditemukannya mistar atau alat penghitung lain, mereka menggunakan bayangan suatu benda dan atau manusia untuk berbagai hal. Misalnya bila ingin mengetahui waktu, bayangan pada tiang atau manusia menunjukkan waktu yang sedang berlangsung. Tidak terlalu akurat memang, namun cukup membantu melihat tidak adanya jam dinding pada saat itu.

Tidak hanya itu saja, ketika seseorang ingin menggambarkan sebuah pohon yang sangatlah tinggi, seseorang bisa saja mengatakan bahwa pohon itu adalah dua kali atau bahkan empat kali tingginya. Semua hal pasti akan diukur dengan perkiraan, mengingat tidak adanya alat yang membantu. Berbeda dengan sekarang yang serba sangat akurat, hingga tercipta juga benda yang amat sangat kecil yang bahkan lebih pintar daripada mahasiswa biasa, secara khiasan maupun literal.

Bayangan saya pun menggambarkan dan memikirkan tentang bagaimana seseorang pada zaman dahulu menghitung sesuatu yang tidaklah sedikit. Dengan pengetahuan seadanya dan tanpa riset, saya mencoba membayangkan bahwa dulunya, mereka menggunakan buah-buahan, misal apel, atau batu-batuan. Mengumpulkannya dan mengurutkan dan atau menghitungnya satu-satu, hingga mencapai perhitungan yang diinginkan. Misal ingin menghitung sepuluh buah yang dimakan dari tiga puluh tujuh buah yang ada, atau membagi tidak sama rata atau bahkan sama rata kepada beberapa orang. Menjajarkannya satu-satu dan memberikannya satu-satu hingga sama rata, atau sesuai dengan bagaimana pembagian yang diinginkan.

Namun jika jumlahnya cukup banyak, misalnya seratus buah, bahkan saya sendiri tidak akan berpikiran untuk menyusun 100 batu atau buah apel (itupun jika saya punya) dan membaginya sama rata atau bahkan sesuai dengan pembagian yang diinginkan, dan tentu, saya juga harus bertingkah seperti orang zaman dahulu. Ya, karena batu terlalu berat dan sulit untuk didapatkan, begitu juga apel, memakan banyak tempat untuk menghitung. Maka, diciptakanlah alat menghitung berupa biji-bijian kecil, atau bebatuan kecil, bulat dan halus agar enak dipakai. Biji-bijian itu ditusuk dengan bambu dan dijajar-jajarkan menjadi beberapa bambu (misal 10 baris) yang memiliki biji-bijian (misal 10 butir) dan setiap ujungnya ditutup dengan kayu, agar tidak tumpah atau lepas. Untuk menghitung hanya perlu dimulai dari kiri, dan menarik satu persatu biji-bijian itu ke atas untuk puluhan dan satuan, ke bawah untuk ratusan, ke atas lagi, dan seterusnya. Mungkin itu juga yang menjadi sistemperhitungan biji pada zaman modern, karena perkembangan dari zaman dulu, dimana belum adanya alat untuk berhitung.

TUGAS SEJARAH MATEMATIKA

MATEMATIKAWAN

Matematikawan ialah orang-orang ahli yang berkecimpung di dunia matematika, melakukan penelitian, membuktikan sesuatu, dan pada akhirnya menemukan sesuatu seperti misalnya teori dalam pemecahan matematika. Matematikawan tidak harus seseorang yang jenius atau bangsawan, dia hanya perlu sebuah tujuan dan pertanyaan, hingga dia bisa mendapatkan sebuah jawaban untuk pertanyaannya tersebut. Yang mereka kerjakan dan dapati pun tidak hanya satu, beberapa teori dan pemecahan mereka raih, tentu di zamannya.

Matematikawan bekerja dengan menggunakan teorema yang ada, bukan dari percobaan atau eksperimen seperti yang dilakukan oleh ilmuwan-ilmuwan lain, semisal ahli fisika. Tidak akan pernah terjadi percobaan seperti benar-benar mengukur panjang tisu toilet dengan menariknya panjang hingga menyerupai kertas tali tipis yang panjang dan diukur dengan seksama menggunakan mistar. Itu mustahil dilakukan. Matematikawan hanya menggunakan teorema yang sudah ada dan dikembangkan dan melakukan pendekatan sedemikian sehingga hasil yang dapat tidak berbeda jauh dari percobaan yang dilakukan ilmuwan lain, jika ilmuwan lain itu sendiri memiliki waktu untuk menghitung panjang tisu toilet menggunakan mistar.

Matematikawan sangat dibutuhkan oleh banyak orang, tentu di beberapa era atau masanya. Zaman dahulu, berhitung adalah hal yang sulit. Namun dengan adanya matematikawan, penjumlahan beberapa kambing yang ditukar dengan beberapa ayam bisa dilakukan dengan mudah bahkan di zaman yang masih kuno. Hingga pada zaman modern, logika pada matematika dan bahkan kalkulus yang akan diketahui manfaatnya di bidang ilmuwan lain, masih berkembang dan terus memberikan manfaat pada bidang ilmu lain, dan tentu di bidang matematika itu sendiri. Maka dari itu, tidak hanya untuk satu bidang, matematika berguna bagi banyak bidang, dan tentu saja, dengan adanya matematikawan, banyak hal baru yang bisa ditemukan dan terus dikembangkan.

Ada dua jenis matematikawan, yaitu matematikawan yang bekerja secara teori dan matematikawan yang berkerja di ilmu terapan. Matematikawan yang bekerja secara teori, seperti yang sudah disebutkan di atas, mempelajari dan menemukan teori baru dengan mengembangkan dan atau melengkapi teori yang sudah ada, atau bahkan dari nol, yang berarti belum ada teori yang tertulis lebih dahulu. Teori dan atau teorema yang dipakai atau ditemukan pun juga tidak melalui percobaan atau kegiatan eksperimen layaknya ilmuwan bidang lain, melainkan hanya membuktikan kebenarannya menggunakan teorema yang sudah ada.  Jika sebuah teorema dinyatakan benar, dan tentu sesuai dengan teorema yang sudah ada (mutlak terbukti benar), biasanya teorema tersebut akan selamanya benar.

Adapun matematikawan yang bekerja di bidang ilmu terapan, mereka benar-benar mengaplikasikannya di kehidupan sehari-hari. Banyak bidang yang menggunakan matematika sebagai ilmu dasarnya. Tugas matematikawan biasanya mengembangkan suatu penemuan dan atau melakukan inovasi terhadap sistem-sistem atau cara-cara yang sudah ada, menjadi lebih baik dan mendekati akurat.

Seperti itulah sejatinya matematikawan yang saya ketahui. Dari dulu hingga sekarang, belum ada perubahan yang mencolok, misal melakukan eksperimen dalam pembuktian, dan tetap berpegang teguh dengan teorema-teorema yang sudah terbukti benar. Selalu menggunakan logika dan urutan atau susunan yang terprogram dalam menyelesaikan dan atau menemukan suatu teorema. Mereka tetap abadi, tidak terikat ruang dan waktu, hingga pada tingkat, merekalah matematika itu sendiri.